Question

【题目】如图，是的直径，是上一点，于点，过点作的切线，交的延长线于点，连接．

求证：与相切；

设交于点，若，，求由劣弧、线段和所围成的图形面积．

Answer 1

【答案】（1）相切；（2）．

【解析】

（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠2=∠1，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R﹣DF=R﹣2，OB=R．在Rt△OBD，利用勾股定理得（R﹣2）2+（2）2=R2，解得R=4，即OD=2，OB=4，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠OBD=30°，则∠BOD=60°．在Rt△OBE中，计算BE=OB=4，然后根据扇形面积公式和S阴影=S四边形OBEC﹣S扇形OBC进行计算即可．

（1）连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB．

∵OB=OC，∴∠2=∠1，∴∠2+∠EBC=∠1+∠ECB，即∠OBE=∠OCE．

∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；

（2）设⊙O的半径为R，则OD=R﹣DF=R﹣2，OB=R．在Rt△OBD中，BD=BC=2．

∵OD2+BD2=OB2，∴（R﹣2）2+（2）2=R2，解得：R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°．在Rt△OBE中，BE=OB=4，∴S阴影=S四边形OBEC﹣S扇形OBC

=2××4×4﹣=16﹣．