Question

我们知道一个图形的性质和判定之间有着密切的联系．比如，由等腰三角形的性质“等边对等角”得到它的判定“等角对等边”．小明在学完“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”性质后，得到如下三个猜想：
①如果一个三角形的一条中线和一条高相互重合，则这个三角形是等腰三角形．
②如果一个三角形的一条高和一条角平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．③如果一个三角形的一条中线和一条角平分线相互重合，则这个三角形是等腰三角形．
我们运用线段垂直平分线的性质，很容易证明猜想①的正确性．现请你帮助小明判断：
（1）他的猜想②是

 

命题（填“真”或“假”）．
（2）他的猜想③是否成立？若成立，请结合图形，写出已知、求证和证明过程；若不成立，请举反例说明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,命题与定理

专题：阅读型

分析：（1）首先根据已知推出△CAD≌△BAC，即可推出AB=AC，
（2）首先根据命题写出已知，求证，画出图形，然后，作出辅助线作DE⊥AC，DF⊥AB，根据条件推出Rt△CED≌Rt△BFC，即可推出∠B=∠C，根据△ABC内，等角对等边，即可推出AB=AC．

解答：（1）证明：∵AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠CAD=∠BAD，
在△CAD和△BAD中，

∠ADB=∠ADC AD=AD ∠CAD=BAD

∴△CAD≌△BAD（ASA），
∴AB=AC，
所以猜想②是真命题．
（2）已知：在△ABC中，D为BC的中点，AD平分∠BAC．
求证：△ABC是等腰三角形．…（2分）
证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF，

∵D为BC的中点
∴CD=BD，
在Rt△CFD和Rt△BED中，

CD=BD DE=DF

∴Rt△CFD≌Rt△BED（HL），
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．即△ABC是等腰三角形．

点评：本题主要考查等腰三角形的性质、根据命题写已知、求证，全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质的等性质定理，关键在于根据命题写出已知、求证、画出图形．