Question

6．如图，海上有一个小岛P，它的周围12海里有暗礁，渔船由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东行驶，有没有触礁的危险，通过计算说明．

Answer 1

分析 过点P作PD⊥AB于D，在Rt△PBD和Rt△PAD中，根据三角函数AD，BD就可以PD表示出来，根据AB=12海里，就得到一个关于PD的方程，求得PD．从而可以判断如果渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．

解答 解：没有触礁危险．
理由：过点P作PD⊥AC，交AB延长线于D．
设PD为x，在Rt△PBD中，
∠PBD=90°-45°=45°．
∴BD=PD=x．
在Rt△PAD中，
∵∠PAD=90°-60°=30°
∴AD=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
∵AD=AB+BD，
∴$\sqrt{3}$x=12+x
∴x=$\frac{12}{\sqrt{3}-1}$=6（$\sqrt{3}$+1），
∵6（$\sqrt{3}$+1）＞12，
∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁危险．

点评 本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．