Question

17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，在以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立的平面直角线坐标系中，将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴正半轴上的A′处，则图中阴影部分面积为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质求出AB，再根据旋转的性质可得A′B=AB，然后求出∠OA′B=30°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠A′BA=60°，即旋转角为60°，再根据S_阴影=S_扇形ABA′+S_△A′BC′-S_△ABC-S_扇形CBC′=S_扇形ABA′-S_扇形CBC′，然后利用扇形的面积公式列式计算即可得解．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=2OA=2OB=$\sqrt{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∵△ABC绕点B顺时针旋转点A在A′处，
∴BA′=AB，
∴BA′=2OB，
∴∠OA′B=30°，
∴∠A′BA=60°，
即旋转角为60°，
S_阴影=S_扇形ABA′+S_△A′BC′-S_△ABC-S_扇形CBC′
=S_扇形ABA′-S_扇形CBC′
=$\frac{60•π•（2\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{60π×{2}^{2}}{360}$
=$\frac{4}{3}$π-$\frac{2}{3}$π
=$\frac{2}{3}$π．
故答案为$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，表示出阴影部分的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键，难点在于求出旋转角的度数．