题目内容
如图1，△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE、AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．
（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有______及______；
（2）设CG=x，BH=y，GH=z，求：
①y关于x的函数关系式；
②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）
（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．
【答案】分析：（1）△HGA，△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；
（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出
=
，求出y=
；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9
，代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；
（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．
解答：解：（1）△HGA，△HAB，
理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°，
∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°，
∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°，∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°，
∴∠H=∠GAC，
∵∠AGC=∠AGC，
∴△AGC∽△HGA；
∵∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HAB；
（2）①如图2，∵△AGC∽△HAB，
∴
=
，
∴
=
，
∴y=
；
②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9
，
∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9
-x），
∴z=
+x-9
；
（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角，
如图，∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9，
由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9，
∴BG=HC，
∴CG=x=9，
即当x=9时，AG=AH．
故答案为：△HGA，△HAB．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，有一定的难度．
（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出
=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9，代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推出BG=HC，即可得出答案．
解答：解：（1）△HGA，△HAB，
理由是：∵△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF，∠BAC=∠AEF=90°，
∴∠B=∠ACB=∠GAF=45°，
∴∠ACB=∠H+∠HAC=45°，∠GAC+∠HAC=∠GAF=45°，
∴∠H=∠GAC，
∵∠AGC=∠AGC，
∴△AGC∽△HGA；
∵∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H，
∴△AGC∽△HAB；
（2）①如图2，∵△AGC∽△HAB，
∴
=，∴
=，∴y=
；②在Rt△BAC中，∠BAC=90°，AC=AB=9，由勾股定理得：BC=9
，∴GH=BH-（BC-GC）=y-（9
-x），∴z=
+x-9；（3）∵∠GAH=45°是等腰三角形的顶角，
如图，∵由△HGA∽△HAB知：HB=AB=9，
由△HGA∽△GCA可知：AC=CG=9，
∴BG=HC，
∴CG=x=9，
即当x=9时，AG=AH．
故答案为：△HGA，△HAB．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行计算的能力，有一定的难度．
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