Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交轴于，两点，交轴于点，连接，已知．

（1）点的坐标是______；

（2）若点是抛物线上的任意一点，连接、．

①当与的面积相等时，求点的坐标；

②把沿着翻折，若点与抛物线对称轴上的点重合，直接写出点的横坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据，，即可得出答案；

（2）将点A、C的坐标代入抛物线解析式，求出a、c的值，即可得出抛物线解析式为，线段AC所在直线的解析式为．利用勾股定理可求出AC=10，的面积为，根据面积相等，即可得出点P到AC的距离为设点P的坐标为，根据点到直线的距离公式即可求出点P到AC的距离，解方程即可得出答案；

（3）根据题意可设设点P的坐标为，点Q的坐标为，因为，可根据直线AC、PQ斜率相乘等于-1，线段PQ的中点位于直线AC上列方程组求解．

解：（1）∵

∴

∵

∴

∴

故答案为：；

（2）将点、代入可得出：

∴抛物线解析式为

将点、代入直线AC的解析式

∴AC所在直线解析式为：

∵

∴的面积为

∴

∴根据与的面积相等，得出点P到AC的距离为

设点P的坐标为

∴

整理可得：

∴或

整理得出： （无解）或

解得：

代入抛物线解析式即可求出点P的纵坐标为

∴点P的坐标为或；

（3）如下图所示，

抛物线的对称轴为

设点P的坐标为，点Q的坐标为

∴

整理可得出：

可得：

解得：

即点P的横坐标为：．