Question

【题目】如图，已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为（﹣2，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC、BC，求线段BC所在直线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4；（2）直线BC的解析式为：y=﹣x+4；（3）存在，存在点P，使△ACP为等腰三角形，点P的坐标为：P1（3，0），P2（3，4+），P3（3，4﹣）．

【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；

（3）本问为存在型问题．若△ACP为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．

解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），

∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，

解得：b=，

∴抛物线解析式为 y=﹣x2+x+4，

又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，

∴对称轴方程为：x=3．

（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，

∴C（0，4）；

令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，

解得：x=8或x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（8，0）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：

，

解得： ，

∴直线BC的解析式为：y=﹣x+4．

（3）存在，

理由：∵抛物线的对称轴方程为：x=3，

可设点P（3，t），

∵A（﹣2，0），C（0，4），

∴AC=2，AQ=，CQ=．

①当AQ=CQ时，

有=，

25+t2=t2﹣8t+16+9，

解得t=0，

∴P1（3，0）；

②当AC=AP时，

有2=，

∴t2=﹣5，此方程无实数根，

∴此时△ACP不能构成等腰三角形；

③当AC=CP时，

有2=，

整理得：t2﹣8t+5=0，

解得：t=4±，

∴点P坐标为：P2（3，4+），P3（3，4﹣）．

综上所述，存在点P，使△ACP为等腰三角形，点P的坐标为：P1（3，0），P2（3，4+），P3（3，4﹣）．