Question

15．如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{3}$，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，DC=2$\sqrt{2}$，将△CDE绕点C顺时针旋转得到△CD′E′，如图2，点D、E对应点分别为D′、E′、D′、E′与AC相交于点M，当E′刚好落在边AB上时，△AMD′的面积为3$\sqrt{3}$-5．

Answer 1

分析 根据已知条件容易知道△EDC是等腰直角三角形，也容易求出CE，然后在Rt△ACE′解直角三角形就可以求出∠ACE，根据已知条件可以证明△D′CA∽△E′CB，确定S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M，然后分别求出它们的面积，利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得到结论．

解答 解：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵DE∥AB，
∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°，
∴DE=CD=2$\sqrt{2}$，
∴CE=CE′=4，
如图2，在Rt△ACE′中，∠E′AC=90°，AC=2$\sqrt{3}$，CE′=4，
∴cos∠ACE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴∠ACE′=30°，
∴∠D′CA=∠E′CB=15°，
又$\frac{CD′}{CE′}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△D′CA∽△E′CB，
∴∠D′AC=∠B=45°，
∴∠ACB=∠D′AC，
∴AD′∥BC，
如图②过点C作CF⊥AD′，垂足为F，
∵AD′∥BC，
∴CF⊥BC．
∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°．
在Rt△ACF中，AF=CF=$\sqrt{6}$，
∴S_△ACF=3，
在Rt△D′CF中，CD′=2$\sqrt{2}$，∠FCD′=30°，
∴D′F=$\sqrt{2}$，
∴S_△D′CF=$\sqrt{3}$．
同理，S_Rt△AE′C=2$\sqrt{3}$，S_{Rt△D′E′C}=4，
∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M，
∴△AME′∽△D′MC，
∴$\frac{{S}_{△AME′}}{{S}_{△D′MC}}$=$\frac{AE{′}^{2}}{CD{′}^{2}}$=$\frac{（\frac{1}{2}CE′）^{2}}{CD{′}^{2}}$=$\frac{1}{2}$
①∴S_△AE′M=$\frac{1}{2}$S_△CD′M．
②∵S_△EMC+S_△AE′M=S_△AE′C=2$\sqrt{3}$，
③S_△E′MC+S_△CD′M=S_△D′EC=4．
由③-②，得S_△C′DM-S_△AE′M=4-2$\sqrt{3}$，
由①，得S_△CD′M=8-4$\sqrt{3}$，
∴S_△AD′M=S_△ACF-S_△DCF-S_△CD′M=3$\sqrt{3}$-5．
∴△AD′M的面积是3$\sqrt{3}$-5．
故答案为：3$\sqrt{3}$-5．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、面积的割补法和解直角三角形等．