Question

已知二次函数y=4x²-（3k-8）x-6（k-1）²的图象与x轴交于A、B两点（A在B左边），且点A、B到原点距离之比为3：2．
①求k值．
②若点P在y轴上，∠PAB=α，∠PBA=β．求证：α＜β．

Answer 1

分析：①根据两根之积可以判断两根异号，再根据点A、B到原点距离之比为3：2，可以设A（-3t，0），B（2t，0），再根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k值；
②根据AO＞BO和正切值的变化规律进行分析判断．

解答：解：①设A（-3t，0），B（2t，0），
则有

-3t+2t= 3k-8 4 -3t•2t= -6(k-1) 2 4

，
解得k=2或k=6，
经检验k=6符合题意．

②∵tan∠PAB=

PO

AO

，tan∠PBA=

PO

BO

，AO＞BO
∴tan∠PAB＜tan∠PBA
∴∠PAB＜∠PBA，即α＜β．

点评：此题综合考查了抛物线与x轴的交点和一元二次方程的根之间的联系以及锐角三角函数的定义和变化规律．