Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．
（1）求证：△CDQ是等腰三角形；
（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=60°，所以∠ABC=30°，而OB=OC，则有∠OCB=30°，再结合CD时切线，可求∠BCD=60°，那么∠DCQ可求，即可得出△CDQ是等腰三角形；
（2）可以假设AB=2，则OB=OA=OC=1，利用勾股定理可得BC=；由于△CDQ≌△COB，那么有CB=CQ，即可求出AQ的长；在直角三角形APQ中，利用30°所对的边等于斜边的一半，又可求AP，而OP=AP-OA，即可求OP，BP也就可求，从而得出BP：PO的值．
解答：（1）证明：由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO，
∴∠DCQ=∠BCO=30°，
∴∠DCQ=∠Q，
故△CDQ是等腰三角形．

（2）解：设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=．
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ=BC=．
∴AQ=AC+CQ=1+，
∴AP=AQ=，
∴BP=AB-AP=，
∴PO=AP-AO=，
∴BP：PO=．
点评：此题综合考查了等腰三角形的判定和圆周角的性质．