Question

如图，△ABC内接于⊙0，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙0的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若EF=4，tanF=

3

2

，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）首先连接BD，由弦AD⊥AB，可得BD是直径，又由BF是⊙O的切线且∠ABF=∠ABC，可证得∠C=∠ABC，即可得AB=AC；
（2）易求得△BEF是等腰三角形，求得AF的长，又可证得△ABF∽△ADB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．

解答：（1）证明：连接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB=90°，
∴BD是直径，
∵BF是⊙O的切线，
∴OB⊥BF，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBA+∠ABF=90°，
∵∠OBA+∠D=90°，
∴∠D=∠ABF，
∵∠C=∠D，∠ABF=∠ABC，
∴∠C=∠ABC，
∴AB=AC；

（2）解：∵AD⊥AB，
∴∠AEB+∠ABE=∠ABF+∠F，
∵∠ABF=∠ABC，
∴∠BEF=∠F，
∴BE=BF，
∴AE=AF=

1

2

EF，
∵EF=4，
∴AF=2，
∵∠BAF=90°，
∴tan∠F=

AB

AF

=

3

2

，
∴AB=3，
∵∠DAB=∠BAF，∠ABF=∠D，
∴△ABF∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AF

AB

，
即

3

AD

=

2

3

，
∴AD=

9

2

，
∵AE=2，
∴DE=AD-AE=

5

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．