Question

20．△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，BF垂直AC于F交AD于E，连接CE交AB于点G，求证：CG⊥AB．

Answer 1

分析 根据等腰三角形性质求出AD⊥BC，∠FCB=∠GBC，求出EB=EC，∠EDC=∠EDB=90°，根据ASA推出△FBC≌△GCB，根据全等三角形的性质得出∠BFC=∠BGC即可．

解答 证明：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
∴EB=EC，∠EDC=∠EDB=90°，
∴∠GCB=∠FBC，
∵AB=AC，
∴∠FCB=∠GBC，
在△FBC和△GCB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FCB=∠GBC}\\{BC=BC}\\{∠FBC=∠GCB}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△GCB（ASA），
∴∠BFC=∠BGC，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=90°，
∴∠BGC=90°，
∴CG⊥AB．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△FBC≌△GCB，题目比较好，难度适中．