Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．

（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；

（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；

②如图2，试用等式来表示PB,BC,CE之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当时，连接DE，试探究线段PB与线段DE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）PE=PD,PE⊥PD，证明详见解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析；②，证明详见解析；(3)PB=DE,证明详见解析.

【解析】

试题

（1）如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，则由已知条件可得PM=PN，∠MPN=90°，由正方形关于对角线对称可得PB=PD，结合PB=PE可得PE=PD，从而可得△PME≌△PND，由此可得∠EPM=∠DPN，从而可证得∠DPE=90°，得到PD⊥PE；

（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，同（1）可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如图2，连接DE，在Rt△DCE中，由勾股定理可得DC2+CE2=DE2，结合在等腰Rt△DPE中，DE2=2PE2及PE=PB，BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2；

（3）如图3，由已知条件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形关于对角线对称可得PB=PE，∠OBC=∠PDC，结合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD，再结合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°，从而可得△PDE是等边三角形，由此即可得到DE=PE=PB.

试题解析：

（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：

如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，

∴∠PME=∠PND=90°，

∵四边形ABCD是正方形，点P在AC上，

∴∠BCD=90°，PM=PN，PB=PD，

∴四边形PMCN是正方形，

∴∠MPN=90°，

∵PB=PE，

∴PE=PD，

∴Rt△PME≌Rt△PND，

∴∠DPN=∠EPM，

∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，

∴PD⊥PE，

∴PE与PE关系是：PD=PE且PD⊥PE；

（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，和（1）同法可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；

②如图2，连接DE，

由①可得PE=PD，PE⊥PD，

∴DE2=PD2+PE2=2PE2，

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，

∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

∴BC2+CE2=DE2=2PE2，

又∵PE=PB，

∴BC2+CE2=2PB2.

（3）如图3，∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，

∴∠ACB=∠ACD=60°，

∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，

∵点P在对称性AC上，

∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，

∵PB=PE，

∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，

∴∠PEC=∠PDC，

又∵∠PHD=∠CHE，

∴∠DPE=∠DCE=60°，

∴△PED是等边三角形，

∴DE=PE，

∴DE=PB.