Question

如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；

（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．

①如图b，求证：BE⊥DQ；

②如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由．

　

Answer 1

（1）证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ；

（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②∵△BCP为等边三角形，

∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP为等腰直角三角形．