Question

已知：O是线段AB的中点，直线MN经过点O，点C，D在直线MN上，∠1=∠2=45°．
（1）若点C与点O重合【图（1）】，请直接写出AC与BD的数量关系和位置关系；
（2）若点C，D不与点O重合【图（2）】，求证：AC=BD，AC⊥BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）易证∠BOD=45°，即可证明BO=BD，OB⊥BD，易证AO=BO，即可求得AO=BD，即可解题；
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，易证∠BED=45°，可得AC⊥BD，∠OEB=∠ACO=135°，即可证明△ACO≌△BEO，可得AC=BE，即可解题．

解答：证明：（1）∵∠1=∠2=45°，
∴∠BOD=∠2=45°，
∴∠OBD=90°，BO=BD，
∴OB⊥BD，
∵O是线段AB的中点，
∴AO=BO，
∴AO=BD，且AO⊥BD；
（2）过B作BE⊥BD交OD于点E，

∵∠1=∠2=45°，BE⊥BD，
∴∠BED=∠2=45°，
∴BE=BD，∠OEB=∠ACO=135°，
∴AC∥BE，
∵BE⊥BD，
∴AC⊥BD，
在△ACO和△BEO中，

∠ACO=∠BEO=45° ∠AOC=∠BOE AO=BO

，
∴△ACO≌△BEO，（AAS）
∴AC=BE，
∴AC=BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACO≌△BEO是解题的关键．