Question

19．一个自然数m，若将其数字重新排列可得一个新的自然数n，如果m=3n，我们称m是一个“希望数”．例如：3105=3×1035，71253=3×23751，371250=3×123750．
（1）请说明41不是希望数，并证明任意两位数都不可能是“希望数”．
（2）一个四位“希望数”M记为$\overline{abcd}$，已知$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，且c=2，请求出这个四位“希望数”．

Answer 1

分析 （1）根据3×14=42≠41即可得出41不是希望数，假设存在两位数是希望数，记为$\overline{ab}$，根据$\overline{ab}$=3$\overline{ba}$，即可得出b=1、2、3，逐一分析当b=1、2、3时a的值，验证后即可得出假设不成立，从而得出任意两位数都不可能是“希望数”；
（2）根据$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$可分析出d=0或5，当d=0时可得出a=4，结合c=2即可得出此情况不成立；当d=5时可得出a=7，结合c=2即可得出关于b的一元一次方程，解之即可得出b值，将a、b、c、d值代入该四位数中即可得出结论．

解答 解：（1）∵3×14=42≠51，
∴41不是希望数．
假设存在两位数是希望数，记为$\overline{ab}$，
∴$\overline{ab}$=3$\overline{ba}$．
∵3b为一位数，且b是3a的个位数，
∴b=1，2，3．
当b=1时，a=7，3×17=51≠71；
当b=2时，a=4，3×24=72≠42；
当b=3时，a=1，3×31=93≠13．
综上可知：假设不成立，即任意两位数都不可能是“希望数”．
（2）∵$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，
∴3d的个位是d，
∴d=0或5．
当d=0时，∵3a的个位是c，c=2，
∴a=4，
此时3c=6＞4，不合适；
当d=5时，∵3a的个位+1是c，c=2，
∴a=7，
又∵$\overline{abcd}$=3•$\overline{cbad}$，
∴3b+2=10+b，解得：b=4．
∴这个四位“希望数”为7425．

点评 本题考查了因式分解的应用及解一元一次方程，熟读题意弄得“希望数”的特点是解题的关键．