Question

4．如图，在△ABC 中，AC=24cm，BC=7cm，AB=25cm，P 点在 BC 上从 B 点到 C 点 运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A 点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）经过多长时间后，P、Q两点的距离为5$\sqrt{2}$cm？
（2）经过多长时间后，△PCQ的面积为15cm²？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时△PCQ的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理PC²+CQ²=PQ²，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5$\sqrt{2}$cm²
（2）根据三角形的面积公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²
（3）根据三角形的面积公式S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ以及二次函数最值便可求出t=1.75s时△PCQ的面积最大．

解答 解：（1）设经过ts后，P、Q两点的距离为5$\sqrt{2}$cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC²+CQ²=PQ²，
代入数据（7-2t）²+（5t）²=（5$\sqrt{2}$）²；
解得t=1或t=-$\frac{1}{29}$（不合题意舍去）；

（2）设经过ts后，S_△PCQ的面积为15cm²
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2t）×5t=15
解得t₁=2，t₂=1.5，
经过2或1.5s后，S_△PCQ的面积为15cm²

（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2t）×5t=$\frac{5}{2}$×（-2t²+7t）
当t=-$\frac{b}{2a}$时，即t=$\frac{7}{2×2}$=1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×PC×CQ=$\frac{1}{2}$×（7-2×1.75）×5×1.75²⁼$\frac{245}{16}$．
当时间为1.75秒时，最大面积为$\frac{245}{16}$．

点评 此题考查一元二次方程的应用和配方法法的应用，注意与勾股定理相结合求得相关线段的长度，是各地中考的热点，属于中档题．