Question

18．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线AC的中点O，且EF⊥AC交CD于E，交AB于F，分别交AD、CB的延长线于M、N．
（1）证明：DM=BN；
（2）连接AE、CF，判断四边形AECF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=CB，AM∥CN，证出∠M=∠N，再由AO=CO，根据AAS证明△AOM≌△CON，得出AM=CN，即可得出结论；
（2）由ASA证明△AOF≌△COE，得出OF=OE，证出四边形AECF是平行四边形，再由对角线互相垂直，即可得出四边形AECF是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AM∥CN，AB∥CD，
∴∠M=∠N，
∵EF垂直平分AC，
∴∠AOM=∠CON=90°，AO=CO，
在△AOM和△CON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}&{\;}\\{∠AOM=∠CON}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM=CN，
∵AM-AD=CN-CB，
∴DM=BN．
（2）解：四边形AECF是菱形；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ACE=∠CAF，
∵EF垂直平分AC，
∴∠COE=∠AOF=90°，AO=CO，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOF=∠COE}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠ACE=∠CAF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．