Question

12．已知：如图，△ABC中，AB=AC=6，∠A=45°，点D在AC上，点E在BD上，且△ABD、△CDE、△BCE均为等腰三角形．
（1）求∠EBC的度数；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得∠ABC的度数，又由AD=BD，可求得∠ABD的度数，继而求得答案；
（2）由AB=AC=6，∠A=45°，可求得BD的长，然后设DE=EC=x，可得BE=EC=$\sqrt{2}$x，即可得方程$\sqrt{2}$x+x=3$\sqrt{2}$，继而求得答案．

解答 解：（1）∵AB=AC=6，∠A=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∵△ABD是等腰三角形，AD=BD，
∴∠ABD=∠A=45°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABD=22.5°；

（2）∵∠A=∠ABD=45°，
∴∠ADB=∠CDE=90°，
∵AB=6，
∴BD=AB•cos45°=3$\sqrt{2}$，
设DE=x，则CD=DE=x，
∴EC=$\sqrt{D{E}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$x，
∵BE=EC=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x+x=3$\sqrt{2}$，
解得：x=6-3$\sqrt{2}$，
∴BE=6$\sqrt{2}$-6．

点评 此题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．