Question

【题目】在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，且，，若为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直．则称该矩形为点的相关矩形"．下图为点的“相关矩形”的示意图．

已知点的坐标为．

若点的坐标为，求点的“相关矩形”的周长；

点在直线上，若点的“相关矩形”为正方形，已知抛物线经过点和点，求抛物线与轴的交点的坐标；

的半径为，点是直线上的从左向右的一个动点．若在上存在一点使得点的“相关矩形”为正方形，直接写出动点的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①12；②（0，2）或（0，4）；（2）4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.

【解析】

（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形周长，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的长与宽，进而可求出该矩形的周长；
②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再将A（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值，从而可得点C的坐标，求出抛物线的表达式即可得到点D的坐标；
（2）由定义可知，EF必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线EF与x轴的夹角为45°，由因为点F在圆O上，所以该直线EF与圆O一定要有交点，由此可以求出点E的横坐标的范围．

解：（1）①∵A（1，0），B（2，5）
由定义可知：点A，B的“相关矩形”的长与宽分别为5和1，
∴点A，B的“相关矩形”的周长为2×（5+1）=12；
②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，
又∵点A，C的“相关矩形”为正方形
∴直线AC与x轴的夹角为45°，
设直线AC的解析为：y=x+m或y=-x+n
把（1，0）代入y=x+m，
∴m=-1，
∴直线AC的解析为：y=x-1，
把（1，0）代入y=-x+n，
∴n=1，
∴y=-x+1，
∴直线AC的表达式为y=x-1或y=-x+1，

∵点C在直线x=3上，代入，

∴点C的坐标为（3，2）或（3，-2），

当点C坐标为（3，2）时，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴抛物线表达式为：，

与y轴交点为（0，2）；

当点C坐标为（3，-2）时，A（1，0），代入中，

，

解得，

∴抛物线表达式为：，

与y轴交点为（0，4）；

∴抛物线与y轴的交点D的坐标为（0，2）或（0，4）；
（2）设直线EF的解析式为y=kx+b，
∵点E，F的“相关矩形”为正方形，
∴由定义可知：直线EF与x轴的夹角为45°，
∴k=±1，
∵点F在⊙O上，
∴当直线EF与⊙O有交点时，点E，F的“相关矩形”为正方形，
当k=1时，
作⊙O的切线AD和BC，且与直线EF平行，
其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，
连接OA，OC，

设点E（m，3），把E代入y=x+b，
∴b=3-m，
∴直线EF的解析式为：y=x+3-m，
∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，OA=4，
∴OD=4，
∴D（0，4），
同理可得：B（0，-4），
∴令x=0代入y=x+3-m，
∴y=3-m，
∴-4≤3-m≤4，
∴4-3≤m≤4+3，
当k=-1时，把E（m，3）代入y=-x+b，
∴b=3+m，
∴直线MN的解析式为：y=-x+3+m，
同理可得：-4≤3+m≤4，
∴-4-3≤m≤4-3；
综上所述，当点E，F的“相关矩形”为正方形时，点E横坐标取值范围是：4-3≤m≤4+3或-4-3≤m≤4-3.