题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A(0,3)与点B关于x轴对称，点C(n,0)为x轴的正半轴上一动点．以AC为边作等腰直角三角形ACD，∠ACD=90°，点D在第一象限内．连接BD，交x轴于点F．
(1)如果∠OAC=38°,求∠DCF的度数；
(2)用含n的式子表示点D的坐标；
(3)在点C运动的过程中，判断OF的长是否发生变化？若不变求出其值，若变化请说明理由．
【答案】（1）38°；（2）点D的坐标（n+3，n）；（3）OF的长不会变化，值为3．
【解析】
（1）根据同角的余角相等可得∠DCF =∠OAC，进而可得结果；
（2）作DH⊥x轴于点H，如图1，则可根据AAS证明△AOC≌△CHD，于是可得OC=DH，AO=CH，进而可得结果；
（3）方法一：由轴对称的性质可得AC=BC，于是可得AC=BC=DC，进一步即得∠BAC =∠ABC，∠CBD =∠CDB，而∠ACB+∠DCB =270°，则可根据三角形的内角和定理推出∠ABC+∠CBD =45°，进一步即得△OBF是等腰直角三角形，于是可得OB=OF，进而可得结论；
方法2：如图2，连接AF交CD于点M，由轴对称的性质可得AC=BC，AF=BF，进一步即可根据等腰三角形的性质以及角的和差得出∠CAF=∠CBF，易得BC=DC，则有∠CBF=∠CDF，可得∠CAF=∠CDF，然后根据三角形的内角和定理可得∠AFD=∠ACD=90°，即得△AFB是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可推出OF=OA，问题即得解决．
解：(1)∵∠AOC=90°，∴∠OAC+∠ACO =90°．
∵∠ACD=90°，∴∠DCF+∠ACO =90°，
∴∠DCF =∠OAC，
∵∠OAC=38°，∴∠DCF=38°；
(2)过点D作DH⊥x轴于点H，如图1，则∠AOC =∠CHD=90°，
∵△ACD是等腰直角三角形，∠ACD=90°，∴AC=CD，
又∵∠OAC=∠DCF ，
∴△AOC≌△CHD(AAS)，
∴OC=DH=n，AO=CH=3，
∴点D的坐标为（n+3，n）；
(3)不会变化．
方法一：∵点A(0，3)与点B关于x轴对称，∴AO=BO=3，AC=BC，∴∠BAC =∠ABC，
又∵AC=CD，∴BC=CD，∴∠CBD =∠CDB，
∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠DCB =270°，
∴∠BAC +∠ABC+∠CBD +∠CDB=90°，
∴∠ABC+∠CBD =45°，
∵∠BOF=90°，∴∠OFB=45°，
∴∠OBF =∠OFB=45°，
∴OB=OF=3，即OF的长不会变化；
方法2：如图2，连接AF交CD于点M，
∵点A与点B关于x轴对称，∴AC=BC，AF=BF，
∴∠OAC=∠OBC，∠OAF=∠OBF，∴∠OAF∠OAC=∠OBF∠OBC，即∠CAF=∠CBF，
∵AC=CD，AC=BC，∴BC=CD，
∴∠CBF=∠CDF，∴∠CAF=∠CDF，
又∵∠AMC=∠DMF，∴∠AFD=∠ACD=90°，
∴∠AFB=90°，
∴∠AFO=∠OFB=45°，∴∠AFO=∠OAF=45°，
∴OF=OA=3，即OF的长不会变化．
