Question

6．如图，⊙O的半径为1cm，弦CD的长度1cm，弦AC、BD所夹的锐角α为75°，则弦AB的长为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先证明△ODC是等边三角形，得到∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DOC=30°，根据α=∠DBC+∠ACB，得到∠ACB=75°-30°=45°，所以∠AOB=2∠ACB=90°，在RT△AOB中利用勾股定理即可求出AB．

解答 解：如图，连接OA、OB、OC、OD、BC．
∵OD=OC=CD=1，
∴∠DOC=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠DOC=30°，
∵α=∠DBC+∠ACB，
∴∠ACB=75°-30°=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=90°，
在RT△AOB中，∵OA=OB=1，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现等边三角形这个突破口，充分利用特殊三角形解决问题．