题目内容

如图，梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB=7，CD=4，AD=4，动点P从点A以每秒1个单位的速度向点B运动，动点Q以每秒2个单位的速度由点B经点C向点D运动，当有一个点到达目标时，即停止运动．设运动时间为x秒，△BPQ的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围；
（1）当x为何值时，y的值最大；
（2）是否存在点P，使得△BPQ为直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）过C作CF⊥AB于F，推出四边形ADCF是矩形，得出DC=AF=4，AD=CF=4，求出BF=3，由勾股定理得求出BC=5，求出sinB=，cosB=，①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，过Q作QE⊥AB于E，得出AP=x，BQ=2x，BP=7-x，根据sinB即可求出QE=x，代入三角形的面积公式求出即可；②当P在AB上，Q在DC上时，此时＜x≤，代入三角形的面积公式求出即可；
（2）求出每个函数式的最值即可；
（3）分为两种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，此时只能是Q为直角顶点，根据cosB==，代入即可求出x；②当P在AB上，Q在CD上时，此时≤x≤，此时只能P为直角顶点，在Rt△BFC中，根据勾股定理得出52=42+（12-3x）2，求出x=3的值即可．
解答：（1）解：过C作CF⊥AB于F，
∵梯形ABCD中，∠DAB=90°，
∴∠D=∠A=∠CFA=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴DC=AF=4，AD=CF=4，
∴BF=7-4=3，
在Rt△CFB中，由勾股定理得：BC=5，
即sinB==，cosB==，
①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，
过Q作QE⊥AB于E，
∵AP=x，BQ=2x，BP=7-x，
∴sinB==，
∴QE=x，
由三角形的面积公式得：y=×BP×QE=×（7-x）×=-x2+x；
②当P在AB上，Q在DC上时，此时＜x≤（4+5=9），
则y=BP×CF=×（7-x）×4=-2x+14；
综合上述：y与x的关系式是：y=．

（2）解：∵y=-x2+x=-+，
又∵0＜x≤，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=，
∴当x=时，y的值最大；
∵y═-2x+14（≤x≤），
根据k=-2＜0知：y随x的增大而减小，即要使y最大，必须x最小，即x取时y最大；
综合上述：当x=时，y的值最大．

（3）解：
分为两种情况：①当P在AB上，Q在BC上时，此时0＜x≤，P在AF内，即只能是Q为直角顶点，
cosB==，
即=，
x=；
②当P在AB上，Q在CD上时，此时≤x≤，
此时只能P为直角顶点，CQ=2x-5=PF，BP=7-x，
则BF=（7-x）-（2x-5）=12-3x，
在Rt△BFC中，由勾股定理得：52=42+（12-3x）2，
解得：x=3，x=5（5＞舍去），
综合上述：存在点P，使得△BPQ为直角三角形，x的值是或3．
点评：本题综合考查了梯形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，二次函数的最值，三角形的面积等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目具有一定的代表性，但是难度偏大，注意：一定要进行分类讨论．
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