Question

【题目】（解决问题）如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．

（1）若，，则的面积是______，______．

（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．

（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值．

（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4

【解析】

解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；

（2）解法同（1）；

（3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的面积，由的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；

（4）过点作，垂足为，易证，过点作，垂足为，由解决问题（1）可得，易证，，只需求出即可．

解：（1）∵，，，

∴的面积，

∵，，，

且，

∴，

∵，

∴.

故答案为：15，8.

（2）∵，，，

且，

∴，

∵，

∴.

（3）连接、、，作于，如图2所示：

∵，

∴是等边三角形，

∵，

∴，

∴，

∴的面积，

∵，，，

∴的面积的面积的面积的面积

，

∴.

（4）过点作，垂足为，如图3所示：

∵四边形是矩形，

∴，，

∵，，

∴，

由折叠可得：，，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

由解决问题（1）可得：，

∴，即的值为4.