Question

如图，已知线段AB，P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），点O是AB的中点，P₂是P₁关于点O的对称点．求证：P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

Answer 1

考点：黄金分割

专题：证明题

分析：设AB=2，根据黄金分割的定义得AP₁=

5 -1

2

AB=

5

-1，则P₁B=3-

5

，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP₁=

5

-2，由于P₂是P₁关于点O的对称点，则P₁P₂=2

5

-4，可计算出P₂B=

5

-1，然后同过计算得到P₁B²=14-6

5

，P₂B•P₁P₂=14-6

5

，即P₁B²=P₂B•P₁P₂，所以P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

解答：证明：设AB=2，
∵P₁是AB的黄金分割点（AP₁＞BP₁），
∴AP₁=

5 -1

2

×2=

5

-1，
∴P₁B=2-（

5

-1）=3-

5

，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP₁=1-（3-

5

）=

5

-2，
∵P₂是P₁关于点O的对称点，
∴P₁P₂=2（

5

-2）=2

5

-4，
∴P₂B=2

5

-4+3-

5

=

5

-1，
∵P₁B²=（3-

5

）²=14-6

5

，P₂B•P₁P₂=（

5

-1）（2

5

-4）=14-6

5

，
∴P₁B²=P₂B•P₁P₂，
∴P₁B是P₂B和P₁P₂的比例中项．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．