Question

如图，等边△ABC内接于⊙O，点D为

BC

上任意一点，在AD上截取AE=BD，连结CE．
求证：
（1）△ACE≌△BCD；
（2）AD=BD+CD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角的性质可以得出∠CAE=∠CBD，由SAS就可以得出结论；
（2）由△ACE≌△BCD就可以得出∠ACE=∠BCD，CE=CD，就可以求出∠DCE=60°而得出△DEC是等边三角就可以得出结论．

解答：证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
在△ACE和△BCD中，

CA=CB ∠CAE=∠CBD AE=BD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．

（2）∵△ACE≌△BCD，
∴∠ACE=∠BCD，CE=CD．
∵∠ACE+∠BCE=∠ACB=60°，
∴∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴△DEC是等边三角形，
∴DC=DE．
∵AD=AE+DE=BD+CD．

点评：本题考查了圆周角的性质的运用，等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．