Question

14．如图，正方形ABCD的边长为6，AM=$\frac{1}{3}$AD，点N在线段MD上，连接BN，把△BMN沿BN翻折，得到△BM′N，延长BM′交线段DN于点P，连接CM′，DM′，当△CDM′是等腰三角形时，MN的长为$\frac{131-24\sqrt{65}}{8}$或=$\frac{19\sqrt{31}+16}{54}$．

Answer 1

分析 分两种情形讨论：①如图1中，当CM′=CD=6时，作M′E⊥AD于E，EM′交BC于F，z则四边形EFCD是矩形，设DE=CF=x．由FM′²=BM′²-BF²=CM′²-CF²，可得40-（6-x）²=36-x²，求出x的值，在Rt△ENM′中，设MN=NM′=y，利用勾股定理列出方程即可．②如图2中，当CM′=DM′时，作M′E⊥AD于E，EM′交BC于F，作M′H⊥CD于H，则四边形EFCD是矩形，CH=HD=3，设MN=NM′=x．在Rt△NEM′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题．

解答 解：①如图1中，当CM′=CD=6时，作M′E⊥AD于E，EM′交BC于F，z则四边形EFCD是矩形，设DE=CF=x．

在Rt△ABM中，∵∠A=90°．AB=6，AM=2，
∴BM=BM′=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{40}$，
∵FM′²=BM′²-BF²=CM′²-CF²，
∴40-（6-x）²=36-x²，
∴x=$\frac{8}{3}$，
∴FM′=$\sqrt{CM{′}^{2}-C{F}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{3}$，
∴EM′=6-$\frac{2\sqrt{65}}{3}$，设MN=NM′=y，
在Rt△ENM′中，y²=（6-$\frac{2\sqrt{65}}{3}$）²+（4-y-$\frac{8}{3}$）²，
解得y=$\frac{131-24\sqrt{65}}{8}$．

②如图2中，当CM′=DM′时，作M′E⊥AD于E，EM′交BC于F，作M′H⊥CD于H，则四边形EFCD是矩形，CH=HD=3，设MN=NM′=x．

在Rt△BFM′中，BF=$\sqrt{CM{′}^{2}-FM{′}^{2}}$=$\sqrt{40-9}$=$\sqrt{31}$，
∴CF=DE=6-$\sqrt{31}$，
在Rt△NEM′中，x²=3²+（4-x-6+$\sqrt{31}$）²，
解得x=$\frac{19\sqrt{31}+16}{54}$．
综上所述，当△CDM′是等腰三角形时，MN的长为$\frac{131-24\sqrt{65}}{8}$或$\frac{19\sqrt{31}+16}{54}$．

点评 本题考查正方形的性质、翻折变换、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．