Question

3．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，延长PB交直径AE的延长线于点D．
（1）求证：BE∥OP；
（2）若tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，求tan∠D的值．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质和直径所对的圆周角等于90°，可以求得∠COA=∠BEA，从而可以证明结论成立；
（2）根据tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，然后利用锐角三角函数和勾股定理、三角形相似可以求得tan∠D的值．

解答 （1）证明：连接AB，交PO于点C，如右图所示，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，延长PB交直径AE的延长线于点D，
∴PC⊥AB，BE⊥AB，
∴∠ACO=∠ABE=90°，
∴∠CAO+∠AOC=90°，∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠COA=∠BEA，
∴BE∥OP；
（2）连接BO，如右上图所示，
设BC=a，
∵tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，
∴PC=2a，
∴PB=$\sqrt{5}a$，
∵∠OPD=∠CBO，BC=a，tan∠OPD=$\frac{1}{2}$，
∴BO=$\frac{\sqrt{5}a}{2}$，
∴PO=$\frac{5a}{2}$，
∵AB⊥BE，AB=2a，AE=2BO=$\sqrt{5}a$，
∴BE=a，
∵BE∥PO，
设DB=x，
∴$\frac{DB}{DP}=\frac{BE}{PO}$，
即$\frac{x}{x+\sqrt{5}a}=\frac{a}{\frac{5a}{2}}$，
解得，x=$\frac{2\sqrt{5}a}{3}$，
∴tan∠D=$\frac{BO}{BD}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}a}{2}}{\frac{2\sqrt{5}a}{3}}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查切线的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数、三角形相似的知识解答．