题目内容

如图，请说明线段AB是如何通过平移、旋转与图中的线段CD重合的．
答案：
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如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC精英家教网=x．
（1）DC+EC的长为
 
（用含x的式子表示，不必化简）；
（2）当点C的位置满足
 
时，DC+EC的长最小，最小值是
 
；
（3）根据以上结论，你能通过构图求出
x2+4
+
(4-x)2+25
的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．
（2011•裕华区二模）如图①，将两个等腰直角三角形叠放在一起，使上面三角板的一个锐角顶点与下面三角板的直角顶点重合，并将上面的三角板绕着这个顶点逆时针旋转，在旋转过程中，当下面三角板的斜边被分成三条线段时，我们来研究这三条线段之间的关系．
（1）实验与操作：
如图②，如果上面三角板的一条直角边旋转到CM的位置时，它的斜边恰好旋转到CN的位置，请在网格中分别画出以AM、MN和NB为边长的正方形，观察这三个正方形的面积之间的关系；
（2）猜想与探究：
如图③，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，M、N是AB边上的点，∠MCN=45°，作DA⊥AB于点A，截取DA=NB，并连接DC、DM．
我们来证明线段CD与线段CN相等．
∵∠CAB=∠CBA=45°，又DA⊥AB于点A，
∴∠DAC=45°，∴∠DAC=∠CBA，
又∵DA=NB，BC=AC，
∴△CAD≌△CBN．
∴CD=CN．

请你继续解答：
①线段MD与线段MN相等吗？为什么？
②线段AM、MN、NB有怎样的数量关系，为什么？
（3）拓广与运用：
如图④，已知线段AB上任意一点M（AM＜MB），是否总能在线段MB上找到一点N，使得分别以AM与BN为边长的正方形的面积的和等于以MN为边长的正方形的面积？若能，请在图④中画出点N的位置，并简要说明作法；若不能，请说明理由．
如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD=∠CBD．请说明理由：
解：∵CD是线段AB的垂直平分线
（已知）
（已知）
，
∴AC=
BC
BC
，
AD
AD
=BD（　　）
在
△CBD
△CBD
和
△CAD
△CAD
中，
AC
AC
=BC，
AD=
BD
BD
，
CD=
CD
CD
，
∴
△CBD
△CBD
≌
△CAD
△CAD
（
SSS
SSS
  ）．
∴∠CAD=∠CBD
（全等三角形的对应角相等）
（全等三角形的对应角相等）
．

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