Question

在平面直角坐标系中, 抛物线+与直线交于A, B两点，点A在点B的左侧.

(1)如图1，当时，直接写出A，B两点的坐标；

(2)在(1)的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图2，抛物线+ 与轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）.在直线上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由.

图1 图2

 

Answer 1

（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）△ABP最大面积s=; P（,-）

（3）存在；k=

【解析】

试题分析：（1）将两个解析式联立组成方程组，解方程组即得

要想△ABP的面积最大，则要在要求的抛物线上找到一个点P，使点P到直线AB的距离最大，这时过点P且与AB平行的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式可确定平移后所得直线的解析式,进而可得点的坐标,求出面积

设圆心为E，连接EQ，直线与x轴交点为H，与y轴交点为F；由已知可得直线与两坐标轴交点的坐标，从而可得直线与坐标轴交点到原点的距离；由圆的切线及相似的知识可得出EQ、QH的长，

再由勾股定理可得要求的值

试题解析：（1）A(-1,0) ，B(2,3)

（2）平移直线AB得到直线L，当L与抛物线只有一个交点时，△ABP面积最大[如图12-1（1）]

设直线L解析式为： ，

根据，得

判别式△，解得，

代入原方程中，得；解得，，

∴P（,）

易求，AB交轴于M（0，1），直线L交轴于G（0，）

过M作MN⊥直线L于N，∵OM=1，OA=1，∴∠AMO=45°

∵∠AMN=90，∴∠NMO=45°

在RT△MNE中，∠NMO=45°，MG=，[如图12-1（2）]

∴ MN=，MN即为△ABP的高

由两点间距离公式，求得：AB=

故△ABP最大面积

（3）设在直线上存在唯一一点Q使得∠OQC=90°

则点Q为以OC的中点E为圆心，OC为直径形成的圆E与直线相切时的切点,[如图12-2（1）]

由解析式可知：C（,0），OC=，则圆E的半径：OE=CE==QE

设直线与、轴交于H点和F点，则F（0,1），∴OF=1 则H（,0）， ∴OH =

∴ EH=

∵AB为切线 ∴EQ⊥AB，∠EQH=90°

在△FOH和△EQH中

∴△FOH∽△EQH

∴ ∴ 1：=：QH，∴QH =

在RT△EQH中，EH=，QH =，QE =，根据勾股定理得，

+=

求得

考点：1、平面直角坐标系中的平行与垂直；2、二次函数；3、一元二次方程根的判别式；4、圆（相切、圆心角）