Question

如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；

（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

     ①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

Answer 1

解：（1）在矩形ABCD中，……2分

（2）如图①，过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ =3－t，

由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，……2分

，…………2分

.…………1分

(3) ①如图②，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，

即3－t=t，∴t=1.5，∴AP=AQ=1.5，…………………………1分

延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，

则，

，∴PO=AO－AP=1．

由△APE∽△OPQ，得．……2分

②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t       

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．   ………2分

（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，

BP＝BQ＝3－（t－3）＝6－t，AP＝t，PC＝5－t，

过点P作PG⊥CB于点G由△PGC∽△ABC，

得

,BG＝4－=

由勾股定理得，即

     ，解得．………2分