Question

16．已知关于x的方程x²-（k+2）x+2k=0
（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的边长a=3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号进行证明；
（2）分b=c，b=a两种情况探讨得出答案即可．

解答 （1）证明：△=[-（k+2）]²-4×1×2k=（k-2）²，
∵无论k取何值，（k-2）²≥0，即△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）解：①当b=c时，则△=0，
即（k-2）²=0，
∴k=2，
方程可化为x²-4x+4=0，
∴x₁=x₂=2，
而b=c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+2+2=7；
②解：当b=a=3时，
∵x²-（k+2）x+2k=0．
∴（x-2）（x-k）=0，
∴x=2或x=k，
∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，
∴k=b=3，
∴c=2，
∴△ABC的周长=a+b+c=3+3+2=8；
综上所述，△ABC的周长为7或8．

点评 本题考查了根的判别式的运用，等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的渗透．