Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，一次函数y₁=k₁x+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=

k2

x

（x＞0）的图象交于A（1，4），B（3，m）两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在第一象限内，x取何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值；
（3）求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）把A（1，4）代入数y2=

k2

x

即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；
（2）根据图象和A、B的坐标即可得出答案；
（3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，求出M、N的坐标，根据S_△AOB=S_△NOM-S_△AON-S_△BOM代入即可求出△AOB的面积．

解答：解：（1）把A（1，4）代入数y2=

k2

x

（x＞0）得：4=

k2

1

，
解得：k₂=4，
即反比例函数的解析式是：y₂=

4

x

，
把B（3，m）代入上式得：m=

4

3

，
即B（3，

4

3

），
把A、B的坐标代入y₁=k₁x+b（k≠0）得：

4=k1+b 4 3 =3k1+b

，
解得：k=-

4

3

，b=

16

3

，
∴一次函数的解析式是：y₁=-

4

3

x+

16

3

；

（2）从图象可知：在第一象限内，x取1＜x＜3时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值；

（3）过A作AE⊥ON于E，过B作BF⊥OM于F，
∵A（1，4），B（3，

4

3

），
∴AE=1，BF=

4

3

，
∵设直线AB（y₁=-

4

3

x+

16

3

）交y轴于N，交x轴于M，
当x=0时，y=

16

3

，
当y=0时，x=4，
即ON=

16

3

，OM=4，
∴S_△AOB=S_△NOM-S_△AON-S_△BOM
=

1

2

×

16

3

×4-

1

2

×

16

3

×1-

1

2

×4×

4

3

=

16

3

．

点评：本题考查了三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式等知识点，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．