Question

如图所示，在直角坐标平面内，函数的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连接AD、DC、CB．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标；
（2）求证：DC∥AB；
（3）四边形ABCD能否为菱形？如果能，请求出四边形ABCD为菱形时，直线AB的函数解析式；如果不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意AC垂直于x轴，由A的坐标得到C（1，0），设出点D坐标和反比例函数解析式，结合点A（1，4）在函数图象上，得到反比例函数解析式，从而得到ab=4，再根据△ABD的面积为4，根据底为BD，高为AM，利用三角形的面积公式表示出三角形ABD的面积，由此三角形面积为4列出关系式，将ab=4代入可得出a的值，进而确定出b的值，即可得到点B的坐标；
（2）根据经过两点直线斜率的公式，结合C、D的坐标，得到直线DC的斜率为-b，同理根据A、B两点的坐标，得到直线AB的斜率关于a、b的式子，再根据反比例解析式，有ab=4，代入化简可得k_AB==-b，直线AB与直线DC的斜率相等，根据斜率相等的两直线平行可得出DC∥AB；
（3）根据条件可知四边形ABCD的对角线互相垂直，只要四边形ABCD是平行四边形，它就是一个菱形，再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB即可，接下来利用两点的距离公式，根据CD=AB列出关于a、b的等式，结合ab=4，求出a与b的值，确定出B点坐标为（2，2），此时四边形ABCD为菱形，最后用经过两点的直线斜率的公式，得出此时直线AB的斜率，再由B的坐标，即可求出直线AB方程．
解答：（1）解：根据题意A（1，4），得C（1，0），
又∵B（a，b），故设点D（0，b），
∵A（1，4）在反比例函数y=的图象上，
∴将x=1，y=4代入反比例函数解析式得：4=，即m=4，
∵根据点B（a，b）在反比例函数图象上，
∴将x=a，y=b代入反比例函数解析式得：ab=4，
∴S_△ABD=BD•AM=×a×（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴a=3，b=，
则点B的坐标为（3， ）；

（2）证明：由C（1，0），设D（0，b），
则直线DC的斜率为k_DC==-b．
同理，根据A（1，4），（a，b），可得直线AB的斜率为k_AB=．
∵点B在反比例函数图象上，有ab=4，
∴k_AB===-b=k_DC，
则DC∥AB；

（3）四边形ABCD能为菱形，而四边形ABCD的对角线互相垂直，
故当ABCD是平行四边形时，四边形ABCD就是菱形，
由（2）得DC∥AB，要使ABCD是平行四边形，
只需DC=AB，即=，
两边平方得：1-2a+a²+16-8b+b²=1+b²，即a²-2a-8b+16=0①，
又∵ab=4，即b=②，
将②代入①得：（a-2）（a²+16）=0，
解得：a=2，
将a=2代入②得：b=2，
∴B（2，2），
则点为B（2，2）时，四边形ABCD为菱形时，
此时直线AB的斜率为k_AB==-2，
由直线的点斜式方程，得AB方程为y-2=-2（x-2），即y=-2x+6，
则所求函数解析式为y=-2x+6．
点评：本题主要考查了直线的斜率和直线的方程，两点的距离公式，坐标系内三角形面积求法，以及菱形的判定，从图上获取有用的信息是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上，在分析问题时，注意将数形结合在一起．