题目内容

如图所示,在直角坐标平面内,函数的图象经过A(1,4),B(a,b),其中a>1.过点A作x轴垂线,垂足为C,过点B作y轴垂线,垂足为D,连接AD、DC、CB.
(1)若△ABD的面积为4,求点B的坐标;
(2)求证:DC∥AB;
(3)四边形ABCD能否为菱形?如果能,请求出四边形ABCD为菱形时,直线AB的函数解析式;如果不能,请说明理由.

【答案】分析:(1)根据题意AC垂直于x轴,由A的坐标得到C(1,0),设出点D坐标和反比例函数解析式,结合点A(1,4)在函数图象上,得到反比例函数解析式,从而得到ab=4,再根据△ABD的面积为4,根据底为BD,高为AM,利用三角形的面积公式表示出三角形ABD的面积,由此三角形面积为4列出关系式,将ab=4代入可得出a的值,进而确定出b的值,即可得到点B的坐标;
(2)根据经过两点直线斜率的公式,结合C、D的坐标,得到直线DC的斜率为-b,同理根据A、B两点的坐标,得到直线AB的斜率关于a、b的式子,再根据反比例解析式,有ab=4,代入化简可得kAB==-b,直线AB与直线DC的斜率相等,根据斜率相等的两直线平行可得出DC∥AB;
(3)根据条件可知四边形ABCD的对角线互相垂直,只要四边形ABCD是平行四边形,它就是一个菱形,再由(2)知DC∥AB,所以只需DC=AB即可,接下来利用两点的距离公式,根据CD=AB列出关于a、b的等式,结合ab=4,求出a与b的值,确定出B点坐标为(2,2),此时四边形ABCD为菱形,最后用经过两点的直线斜率的公式,得出此时直线AB的斜率,再由B的坐标,即可求出直线AB方程.
解答:(1)解:根据题意A(1,4),得C(1,0),
又∵B(a,b),故设点D(0,b),
∵A(1,4)在反比例函数y=的图象上,
∴将x=1,y=4代入反比例函数解析式得:4=,即m=4,
∵根据点B(a,b)在反比例函数图象上,
∴将x=a,y=b代入反比例函数解析式得:ab=4,
∴S△ABD=BD•AM=×a×(4-b)=4,即4a-ab=4a-4=8,
∴a=3,b=
则点B的坐标为(3, );

(2)证明:由C(1,0),设D(0,b),
则直线DC的斜率为kDC==-b.
同理,根据A(1,4),(a,b),可得直线AB的斜率为kAB=
∵点B在反比例函数图象上,有ab=4,
∴kAB===-b=kDC
则DC∥AB;

(3)四边形ABCD能为菱形,而四边形ABCD的对角线互相垂直,
故当ABCD是平行四边形时,四边形ABCD就是菱形,
由(2)得DC∥AB,要使ABCD是平行四边形,
只需DC=AB,即=
两边平方得:1-2a+a2+16-8b+b2=1+b2,即a2-2a-8b+16=0①,
又∵ab=4,即b=②,
将②代入①得:(a-2)(a2+16)=0,
解得:a=2,
将a=2代入②得:b=2,
∴B(2,2),
则点为B(2,2)时,四边形ABCD为菱形时,
此时直线AB的斜率为kAB==-2,
由直线的点斜式方程,得AB方程为y-2=-2(x-2),即y=-2x+6,
则所求函数解析式为y=-2x+6.
点评:本题主要考查了直线的斜率和直线的方程,两点的距离公式,坐标系内三角形面积求法,以及菱形的判定,从图上获取有用的信息是解题的关键所在.已知点在图象上,那么点一定满足这个函数解析式,反过来如果这点满足函数的解析式,那么这个点也一定在函数图象上,在分析问题时,注意将数形结合在一起.
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