Question

如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，3），连接AB，动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1，，2（长度单位/秒）；同时直线l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动，且分别与OB、AB交于E、F两点，设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A、B两点的直线表达式是______

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系数法求得过A、B两点的直线表达式；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段的运动速度，即可求得；
（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．
（4）当t=2时，可求的点P的坐标，即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．
解答：解：（1）设过A、B两点的直线表达式为y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）．
∵点A的坐标是（3，0），点B的坐标是（0，3），
∴，
解得，，
∴过A、B两点的直线表达式为：y=-x+3；

（2）∵点A的坐标是（3，0），
∴OA=3；
又∵点P在AO、OB、BA上运动的速度分别为1，，
∴当t=4时，点P在线段OB上，且OP=（4-3÷1）×=，
∴点P的坐标是（0，）；
当点P与点E重合时，=+=+3，
解得OE=，
∴t==；

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，
∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=t，∠A=60°，
∴AG==t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=t
由3-t=t得t=；
②当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
③当点P在线段BA上时，过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE=t，
∴BE=3- t，
∴EF==3-，
∴MP=EH=EF=，
又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•=，
解得t=；

（4）存在；理由如下：
∵t=2，∴OE=，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3）
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度
∴C点坐标为（-，-1）
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由 ===，可得Q的坐标为（-， ）；
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-，）也符合条件．
故答案是：（1）y=-x+3；（2）（0，）；．
点评：本题考查了一次函数综合题．解题的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一性．