Question

已知a、b、c为△ABC的三边，
（1）若a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0，判断△ABC的形状；
（2）若a²=b²+c²-bc，计算

c

a+b

+

b

a+c

的值．

Answer 1

分析：（1）通过给出的条件，把等式分解变形，找出a，b，c之间的关系，再判定三角形的形状；
（2）通过通分，运用勾股定理把式子化简后约法则可．

解答：解：（1）由a⁴+b²c²-a²c²-b⁴=0
∴c²（b²-a²）+（a²+b²）（a²-b²）=0
∴（b²-a²）[c²-（a²+b²）]=0
∴b²-a²=0或c²-（a²+b²）=0
即b=a或c²=a²+b²
∴ABC为等腰三角形或直角三角形；

（2）∵a²=b²+c²-bc
∴b²+c²=a²+bc

c

a+b

+

b

a+c

=

c(a+c)+(a+b)b

(a+b)(a+c)

=

ac+c2+ab+b2

a2+ac+ba+bc

=

(b2+c2)+ac+ab

a2+ac+ba+bc

=

a2+bc+ac+ab

a2+ac+ba+bc

=1．

点评：本题考查了直角三角形的判定，解题过程中注意因式分解和公式变形的运用．