Question

已知，AD为△ABC（AB＞AC）的角平分线，AD的垂直平分线和BC的延长线交于点E，设CE=a，DE=b，BE=c．求证：关于x的二次方程ax²-2bx+c=0有两个相等的实根．

Answer 1

解：连接EA，如下图所示：
∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，∠EAD=∠EDA．
即∠EAC+∠CAD=∠B+∠BAD．
又∠CAD=∠BAD．
故∠EAC=∠B；又∠AEC=∠BEA．
∴△ABE∽△CAE．
∴AE²=CE•BE，
∵设CE=a，DE=b，BE=c．
∴b²=a•c，
∴b²-a•c=0，
∵ax²-2bx+c=0，
△=（2b）²-4ac=4（b²-a•c）=0，
∴关于x的二次方程ax²-2bx+c=0有两个相等的实根．
分析：连接EA，由已知中AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点F，与BC的延长线交于点E，可证得△ABE∽△CAE，由相似三角形的性质，可得AE²=CE•BE，再利用根与系数关系，即可得到答案．
点评：此题考查了相似三角形的性质以及根与系数的关系，根据已知得出△ABE∽△CAE是解答本题的关键．