Question

已知：AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB=BD．
（1）判断△ABE与△CBA是否相似并说明理由；
（2）求证：AC=2AE．

Answer 1

分析：（1）根据“两边及其夹角法（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）推知△ABE与△CBA相似；
（2）利用（1）中相似三角形的对应边成比例证明该结论．

解答：（1）解：∵AD为△ABC的中线，AE是△ABD的中线，
∴BD=CD，BE=DE，
∴BE=

1

2

BD，BD=

1

2

BC；
又∵AB=BD，
∴BE=

1

2

AB，AB=

1

2

BC，
∴

BE

AB

=

AB

BC

=

1

2

，∠B=∠B，
∴△ABE∽△CBA；

（2）证明：∵由（1）知，△ABE∽△CBA，
∴

AE

AC

=

BE

AB

=

1

2

，
∴AC=2AE．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．