题目内容

（2013•抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．
（1）如图1，DE与BC的数量关系是
DE=
3
2
BC
DE=
3
2
BC
；
（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系．
分析：（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=
3
2
BC；
（2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC-BP，DE=
3
2
BC可得到BF+BP=
2
3
3
DE；
（3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF-BP=BC，所以BF-BP=
2
3
3
DE．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵点D是AB的中点，
∴DB=DC，
∴△DCB为等边三角形，
∵DE⊥BC，
∴DE=
3
2
BC；
故答案为DE=
3
2
BC．

（2）BF+BP=
2
3
3
DE．理由如下：
∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，
∴∠PDF=60°，DP=DF，
而∠CDB=60°，
∴∠CDB-∠PDB=∠PDF-∠PDB，
∴∠CDP=∠BDF，
在△DCP和△DBF中
DC=DB
∠CDP=∠BDF
DP=DF
，
∴△DCP≌△DBF（SAS），
∴CP=BF，
而CP=BC-BP，
∴BF+BP=BC，
∵DE=
3
2
BC，
∴BC=
2
3
3
DE，
∴BF+BP=
2
3
3
DE；

（3）如图，
与（2）一样可证明△DCP≌△DBF，
∴CP=BF，
而CP=BC+BP，
∴BF-BP=BC，
∴BF-BP=
2
3
3
DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
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