Question

【题目】如图1，在正方形中，对角线相交于点，点为线段上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点.

（1）若，求的面积；

（2）如图2，线段的延长线交于点，过点作于点，求证：；

（3）如图3，点为射线上一点，线段的延长线交直线于点，交直线于点，过点作垂直直线于点，请直接写出线段的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图1中，利用勾股定理计算CE的长，由旋转可知△CEF是等腰直角三角形，可得结论；

（2）如图2，过E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，证明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分线的性质得EP＝EN＝FM，证明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由线段的和可得结论；

（3）如图3，构建辅助线，构建全等三角形，证明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，证明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得结论．

（1）在正方形中，

（2）过点作于，于

又

是等腰直角三角形

（3）BH﹣MG＝BE，理由是：

如图3，过E作EN⊥AB于N，交CG于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，

∴EP⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠M＝∠ECF＝90°，

∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，

∴∠ECP＝∠CFM，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△FMC（AAS），

∴PC＝FM，

∵△DPE是等腰直角三角形，

∴PE＝PD，

∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，

∵AB∥CD，

∴∠H＝∠FGM，

∵∠ENH＝∠M＝90°，

∴△HNE≌△GMF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH﹣MG＝BE．