Question

5．已知矩形ABCD中，AD=6，∠ACB=30°，将△ACD绕点C顺时针旋转得到△EFG，使点D的对应点G落在BC延长线上，点A对应点为E点，C点对应点为F点，F点与C点重合（如图1），此时将△EFG以每秒1个单位长度的速度沿直线CB向左平移，直至点G与点B重合时停止运动，设△EFG运动的时间为t（t＞0）．
（1）当t为何值时，点D落在线段EF上？
（2）设在平移过程中△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）在平移过程中，当点G与点B重合时（如图2），将△CBA绕点B逆时针旋转得到△C₁A₁B，直线EF与C₁A₁所在直线交于P点，与C₁B所在直线交于点Q．在旋转过程中，△ABC的旋转角为α（0°＜α＜180°），是否存在这样的α，使得△C₁PQ为等腰三角形？若存在，请写出α的度数，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数求出线段CD，延长AD交EF于点H，利用三角函数即可求出线段DH长度，再除以运动速度即为运动时间；
（2）分五种情况进行讨论，求出重合面积，写出S关于t的函数关系式即可；
（3）通过分析△C₁PQ为等腰三角形，分析等腰情况，分别求出对应角度即可．

解答 解：（1）∵AD=BC=6，∠ACB=30°，
∴AB=DF=6×tan30°=2$\sqrt{3}$，
延长AD交EF于点H，如下图：
∵△ACD绕点C顺时针旋转得到△EFG，

∴∠DFH=30°，
∴DH=DF×tan30°=2，
∵△EFG以每秒1个单位长度的速度沿直线CB向左平移，2÷1=2秒，
∴当t=2时，点D落在线段EF上．

（2）当0＜t≤2时，S=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²，
当2＜t≤2$\sqrt{3}$时，S=2$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
当2$\sqrt{3}$＜t≤6时，S=12-2$\sqrt{3}$，
当6＜t≤8时，S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+6$\sqrt{3}$t-20$\sqrt{3}$+12，
当8＜t＜6+2$\sqrt{3}$时，S=-2$\sqrt{3}$t+12$\sqrt{3}$+12，

（3）30°、120°、165°．
∵△C₁PQ为等腰三角形，
当PQ=PC′，如下图：

则∠Q=∠C′=30°，
∴∠EPC′=60°，
∵∠E=30°，
∴∠A′B′E=30°，
∴α=30°．
同理：当PQ=QC′，PC′=QC′，α=120°、165°．
∴△C₁PQ为等腰三角形，旋转角为30°、120°、165°．

点评 题目考查了几何图形的综合变换，解决此类问题的关键分析图形的变换情况，在变换过程中，分析变量和不变量，题目整体较难，适合学生压轴训练．