Question

如图1，矩形OABC中，AB=8，OA=4，把矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，折痕为DE．
（1）求OD的长；
（2）连接BE，四边形OEBD是什么特殊四边形？请运用所学知识进行说明；
（3）以O点为坐标原点，OC、OA 所在的直线分别为x轴、y轴（如图2），求直线EF的函数表达式．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得到OD=DB，设OD=x，则DB=x，AD=8-x，利用勾股定理得到x²=（8-x）²+4²，解方程即可得到x；
（2）根据折叠的性质得到∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，而∠3=∠1，得∠2=∠3，则OD=OE，即可得到四边形OEBD的四边都相等，根据菱形的定义即可判断；
（3）过F作FG⊥x轴于G，根据折叠的性质得OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，可得E点坐标，利用等积法科求出GF，再利用勾股定理可求得OG，即得到F点坐标，然后根据待定系数法可求得直线EF的函数表达式．

解答：解：（1）如图1，
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴OD=DB，
设OD=x，则DB=x，AD=8-x，
在Rt△AOD中，OA=4，
∴OD²=AD²+OA²，即x²=（8-x）²+4²，解得x=5，
所以OD的长为5；

（2）四边形OEBD是菱形．理由如下：
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴∠2=∠1，DB=DO，BE=EO，
而∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD=OE，
∴OD=DB=BE=OE，
∴四边形OEBD是菱形；

（3）过F作FG⊥x轴于G，如图2，
∵矩形OABC对折，使点B与点O重合，点C移到点F位置，
∴OE=OD=5，EC=EF=3，OF=BC=4，∠OFE=∠B=90°，
∴E点坐标为（5，0）；
∵

1

2

OE•GF=

1

2

OF•EF，
∴GF=

3×4

5

=

12

5

，
在Rt△OFG中，OG=

OF2-GF2

=

4 2-( 12 5 )2

=

16

5

，
∴F点坐标为（

16

5

，-

12

5

），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
把E（5，0）和F（

16

5

，-

12

5

）代入得，5k+b=0，

16

5

k+b=-

12

5

，解得k=

4

3

，b=-

20

3

，
∴直线EF的函数表达式为y=

4

3

x-

20

3

．

点评：本题考查了利用待定系数法一次函数的解析式：先确定两个点的坐标，然后代入y=kx+b中，得到方程组，解方程组即可．也考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；还考查了矩形的性质、菱形的定义以及勾股定理．