题目内容
（2013•南沙区一模）将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，顶点O为原点，顶点C、A分别在x轴和y轴上．在OA边上选取适当的点E，连接CE，将△EOC沿CE折叠．
（1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为
（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．求证：EH=CH；
（3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式
（4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC=10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．
（1）如图①，当点O落在AB边上的点D处时，点E的坐标为
（0，5）
（0，5）
；（2）如图②，当点O落在矩形OABC内部的点D处时，过点E作EG∥x轴交CD于点H，交BC于点G．求证：EH=CH；
（3）在（2）的条件下，设H（m，n），写出m与n之间的关系式
m=
n2+5
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m=
n2+5
；| 1 |
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（4）如图③，将矩形OABC变为正方形，OC=10，当点E为AO中点时，点O落在正方形OABC内部的点D处，延长CD交AB于点T，求此时AT的长度．
分析：（1）根据翻折变换的性质以及勾股定理得出BD的长，进而得出AE，EO的长即可得出答案；
（2）利用平行线的性质以及等角对等边得出答案即可；
（3）根据H点坐标得出各边长度，进而利用勾股定理求出m与n的关系即可；
（4）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE进而得出AT=DT．设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可．
（2）利用平行线的性质以及等角对等边得出答案即可；
（3）根据H点坐标得出各边长度，进而利用勾股定理求出m与n的关系即可；
（4）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE进而得出AT=DT．设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可．
解答：（1）解：∵将边长OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐标系中，点O落在AB边上的点D处，
∴OC=DC=10，
∵BC=8，
∴BD=
=6，
∴AD=10-6=4，
设AE=x，则EO=8-x，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AE=3，
则EO=8-3=5，
∴点E的坐标为：（0，5）；
（2）证明：（如图②）由题意可知∠1=∠2．
∵EG∥x轴，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EH=CH．
（3）
解：过点H作HW⊥OC于点W，
∵在（2）的条件下，设H（m，n），
∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n，
∴HW2+WC2=HC2，
∴n2+（10-m）2=m2，
∴m与n之间的关系式为：m=
n2+5；
（4）解：（如图③）连接ET，
由题意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10，
∵E是AO中点，∴AE=EO．
∴AE=ED．
∵在Rt△ATE和Rt△DTE中，
∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）．
∴AT=DT．
设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，
在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，
即（10-x）2+102=（10+x）2，
解得 x=2.5，
即AT=2.5．
故答案为：（0，5）；m=
n2+5．
∴OC=DC=10，
∵BC=8，
∴BD=
| 102-82 |
∴AD=10-6=4，
设AE=x，则EO=8-x，
∴x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，
∴AE=3，
则EO=8-3=5，
∴点E的坐标为：（0，5）；
（2）证明：（如图②）由题意可知∠1=∠2．
∵EG∥x轴，
∴∠1=∠3．
∴∠2=∠3．
∴EH=CH．
（3）
解：过点H作HW⊥OC于点W，∵在（2）的条件下，设H（m，n），
∴EH=HC=m，WC=10-m，HW=n，
∴HW2+WC2=HC2，
∴n2+（10-m）2=m2，
∴m与n之间的关系式为：m=
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（4）解：（如图③）连接ET，
由题意可知，ED=EO，ED⊥TC，DC=OC=10，
∵E是AO中点，∴AE=EO．
∴AE=ED．
∵在Rt△ATE和Rt△DTE中，
|
∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL）．
∴AT=DT．
设AT=x，则BT=10-x，TC=10+x，
在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，
即（10-x）2+102=（10+x）2，
解得 x=2.5，
即AT=2.5．
故答案为：（0，5）；m=
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点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和全等三角形的判定与性质等知识，熟练构建直角三角形利用勾股定理得出相关线段长度是解题关键．
练习册系列答案
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