Question

【题目】如图，和都是等腰三角形，其中，，且．

（1）如图①，连接、，求证：；

（2）如图②，连接、，若，，，，求的长；

（3）如图③，若，且点恰好落在上，试探究、和之间的数量关系，并加以说明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）5；（3）＋=，理由见解析

【解析】

（1）根据等式的基本性质可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可证出△BAE≌△CAD，从而证出结论；

（2）根据等式的基本性质可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可证出△BAE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质可得，∠BEA=∠CDA，证出△ADE为等边三角形，根据三线合一即可证出∠BED=90°，根据勾股定理即可求出BD；

（3）根据等式的基本性质可得∠BAE=∠CAD，然后利用SAS即可证出△BAE≌△CAD，然后根据全等三角形的性质可得，∠BEA=∠D，证出△ADE为等腰直角三角形即可求出∠BEC=90°，根据勾股定理即可得出结论．

解：（1）∵

∴∠BAC＋∠CAE=∠DAE＋∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴

（2）∵

∴∠BAC＋∠CAE=∠DAE＋∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴，∠BEA=∠CDA

∵∠DAE=60°，AE=AD

∴△ADE为等边三角形

∴∠ADE=∠AED=60°，DE=AD=3

∵

∴∠CDA=∠CDE=

∴∠BEA=30°

∴∠BED=∠BEA＋∠AED=90°，

在Rt△BED中，BD=

（3）＋=，理由如下

连接，

∵=90°

∴∠BAC－∠CAE=∠DAE－∠CAE

∴∠BAE=∠CAD

在△BAE和△CAD中

∴△BAE≌△CAD

∴，∠BEA=∠D

∵∠DAE=90°，AE=AD

∴△ADE为等腰直角三角形

∴∠D=∠AED=45°，

∴∠BEA=45°

∴∠BEC=∠BEA＋∠AED=90°

∴在Rt△BEC中，＋=

∴＋=