Question

设a，b都是正整数，若二次函数y=a²+bx+1的图象与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标x₁，x₂，满足-1＜x₁＜x₂＜0，
求：正整数a，b的最小值及此时x₁，x₂的值．

Answer 1

分析：先根据根与系数的关系得到x₁+x₂=- 

b

a

，x₁x₂=

1

a

，再利用-1＜x₁＜x₂＜0得到（1+x₁）（1+x₂）＞0，进而得到（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1-

b

a

+

1

a

=

a-b+1

a

＞0，可推出a、b的取值范围值，进而求出a、b的值．

解答：解：解法1：依题意，x₁，x₂为方程ax²+bx+1=0的两实根，
则b²-4a＞0①
x₁+x₂=- 

b

a

，x₁x₂=

1

a

②，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1-

b

a

+

1

a

=

a-b+1

a

＞0，
而a＞0，
∴a-b+1＞0，即：a＞b+1，又a，b都是正整数，则a≥b③，
由①得，b＞2

a

④，
由③、④得a＞2

a

，即

a

＞2，
∴a＞4，因此正整数a的最小值为5．
由④得：b＞2

5

＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax²+bx+1=0的根为x=

-5± 5

10

，
∴x1=

-5- 5

10

，x2=

-5+ 5

10

解法2：依题意：y=ax²+bx+1=a（x-x₁）（x-x₂），
令x=-1得：a（-1-x₁）（-1-x₂）=a-b+1，
即a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1，
∵-1＜x₁＜x₂＜0，
∴1+x₁＞0，1+x₂＞0，
即（1+x₁）（1+x₂）＞0，
∴a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1＞0，
而a，b为正整数，则a（1+x₁）（1+x₂）=a-b+1≥1，
而x₁x₂=

1

a

，
∴a²（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=a-b+1≥1，
∴a²≥

1

(1+x1)(1+x2)

，
由于0＜（1+x₁）（-x₁）=-(x1+

1

2

) 2+

1

4

≤

1

4

，当x1=-

1

2

时取最大值；
同理0＜（1+x₂）（-x₂）=-(x2+

1

2

) 2+

1

4

，当x₂=-

1

2

时取最大值；
而-1＜x₁＜x₂＜0，
∴0＜（1+x₁）（1+x₂）x₁x₂=（1+x₁）（-x₁）（1+x₂）（-x₂）＜

1

16

，
从而a²≥

1

(1+x1)(1+x2)  x1x2

＞16，
而a为正整数，所以a的最小值为5，
由于x₁，x₂为方程ax²+bx+1=0的两实根，则b²-4a＞0，
∴b＞2

5

＞4，
∴正整数b的最小值为5，
当a=b=5时，ax²+bx+1=0的根为x=

-5± 5

10

，
∴x₁=

-5- 5

10

，x₂=

-5+ 5

10

．

点评：此题考查了抛物线与x轴的交点坐标，根据函数特点及根与系数的关系得到关于a、b的不等式，再求出其具体值是解题的重要环节．