Question

已知抛物线y₁=ax²+bx+c过点A(1,0)，顶点为B，且抛物线不经过第三象限.

（1）使用a、c表示b;

（2）判断点B所在象限，并说明理由；

（3）若直线y₂=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C,求当x≥1时y₁的取值范围.

Answer 1

解：（1）把点A（1,0）的坐标代入函数解析式即可得到b=－a－c.

（2）若a＜0，则抛物线开口向下，抛物线必过第三象限，所以a＜0不成立.

当a>0时，抛物线开口向上，B在第四象限.理由如下：由题意，ax²+bx+c=0可变形为ax²－(a+c)x+c=0，

解得x₁=1,x₂=,a≠c，

所以抛物线与x轴有两个交点.又因为抛物线不经过第三象限,所以a>0，且顶点在第四象限;

（3）由（2）知抛物线与x轴两个交点为A（1，0）与（，0）.

∵直线y₂=2x+m与该抛物线交于点B、点C (,b+8)，∴点C就是抛物线与x轴的一个交点，即b+8=0，b=－8，此时－a－c=－8，y₁=ax²－8x+c，抛物线顶点B的坐标为（，）.

把B、C两点坐标代入直线解析式y₂=2x+m，得ac+2c=24.

又a+c=8，解得a=c=4（与a≠c矛盾，舍去）或a=2，c=6.

∴y₁=2x²－8x+6，B（2，－2）.

画出上述二次函数的图象(如答图2)，观察图象知，当x≥1时，y₁的最小值为顶点纵坐标－2，且无最大值.           

∴当x≥1时，y₁的取值范围是y₁≥－2.

答图2