Question

【题目】如图1，四边形ABCD和AEFG是两个互相重合的矩形，如图2将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转α度（0≤α≤90°），点G恰好落在矩形ABCD的对角线上，AB与FG相交于点M，连接BE交FG于点N．

（1）当AB=AD时，请直接写出∠ABE的度数；

（2）当∠ADB=60°时，求∠ABE的度数；

（3）如图3，当AB=2AD=2时，①求点A到直线BE的距离； ②直接写出△BMN的周长．

Answer 1

【答案】（1）∠ABE=45°；（2）∠ABE=60°；（3）点A到直线BE的距离为；△BMN的周长为=+．

【解析】

(1)当AB=AD时,判断出点G和点B重合,即可得出结论;

(2) 先判断出△ADG是等边三角形, 得出∠DAG=, 再判断出△ABE是等边三角形, 即可得出结论;

(3)①先确定出BD=, sin∠ADB== =COS∠ABD, 进而得出AQ=, 再判断出ΔADQ∽ΔABH, 即可得出结论;

②先求出BH=, 即: BE=2BH=再判断出∠FEN=∠ABD, 即可求出∠BNM, 最后由ΔBMN∽ΔBAE, 求出M N=BM=, 即可得出结论.

解：（1）如图1，

当AB=AD时，矩形ABCD和矩形AEFG都是正方形，

∴旋转使点G在正方形对角线上时，点G和点B重合，

在△ABE中，∠BAE=90°，AE=AB，

∴∠ABE=45°；

（2）在Rt△ABD中，∠ADB=60°，

由旋转知，AD=AG，

∴△ADG是等边三角形，

∴∠DAG=60°，

∴∠BAG=90°﹣60°=30°，

∴∠BAE=90°﹣30°=60°，

∵AB=AE，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠ABE=60°；

（3）①如图3，

过点A作AH⊥BE于H，

∴∠BAH=∠BAE，

∴AH就是点A到直线BE的距离，

在Rt△ABD中，AB=2AD=2，

∴AD=1，根据勾股定理得，BD=，sin∠ADB====cos∠ABD，

过点A作AQ⊥BD于Q，

∴∠DAQ=∠DAG，

在Rt△ADQ中，tan∠ADB==，

∴AQ=AD=，

由旋转知，∠DAG=∠BAE，

∴∠DAQ=∠BAH，

∵∠AQD=∠AHB，

∴△ADQ∽△ABH，

∴=，

∴AH=，

即：点A到直线BE的距离为；

②由①知，AH=，

在Rt△ABH中，根据勾股定理得，BH==，

∴BE=2BH=，

由①知，∠ABE=∠ADB，

∴∠NBG=90°，

∵∠NFE=90°，

∴∠FEN=∠BGN，

∵∠BGN+∠QAG=90°，

∴∠FEN=∠GAQ=∠DAQ=∠ABD，

在Rt△EFN中，cos∠FEN==cos∠ABD=，

∴=，

∴EN=，

∴BN=BE﹣NE=，

∵MN∥AE，

∴△BMN∽△BAE，

∴，

∴=，

∴MN=BM=，

∴△BMN的周长为MN+BM+BN=．