Question

3．如图，AB是⊙O的直径，D为OB的中点，E为AB延长线上一点，EF与⊙O相切于点F，点C在⊙O上，且四边形CDEF是平行四边形，若AB=8，则CF的长为$\sqrt{33}$-1．

Answer 1

分析 连接OF，过O作OH⊥CF于H，于是得到∠OHF=90°，CF=2HF，由于EF与⊙O相切于点F，得到OF⊥EF，根据平行线的性质得到∠HFO=∠FOE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接OF，过O作OH⊥CF于H，
则∠OHF=90°，CF=2HF，
∵EF与⊙O相切于点F，
∴OF⊥EF，
∴∠OHF=∠OFE，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴CF∥EO，CF=DE，
∴∠HFO=∠FOE，
∴△OFH∽△OEF，
∴$\frac{HF}{OF}=\frac{OF}{OE}$，
∵D为OB的中点，AB=8，
∴OF=4，OD=2，
设HF=x，则CF=DE=2x，
∴OE=2+2x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4}{2+2x}$，
∴x=$\frac{\sqrt{33}-1}{2}$（负值舍去）
∴CF=$\sqrt{33}$-1．
故答案为：$\sqrt{33}$-1．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，得出垂直关系．也考查了平行四边形的性质．