Question

【题目】我们定义：如图1，在中，把AB绕点按顺时针方向旋转得到，把AC绕点按逆时针方向旋转得到，连接.当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线AD叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知

（1）在图2、图3中，是△ABC的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．

①如图2，当为等边三角形时，AD与的数量关系为AD= ；

②如图3，当时，则长为 ．

猜想论证

(2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与BC的数量关系，并给予证明．

拓展应用

(3)如图4，在四边形中，.在四边形内部是否存在点，使是的“旋补三角形”?若存在，求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）①；②4 ；（2），证明见解析；（3）存在，

【解析】

（1）①首先证明是含有30°的直角三角形，可得即可解决问题；

②首先证明，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可解决问题；

（2）如图所示作出辅助线，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题；

（3）如图所示作出辅助线，证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°即可．

解：（1）①在图2中，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=，

∵，

∴AD⊥，

∵∠BAC=60°，∠BAC+，

∴，

∴，

∴，

故答案为：；

②在图3中，

∵∠BAC=90°，∠BAC+，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∵

∴，

故答案为：4；

（2）结论为：

理由：如下图，延长AD到点M，使得AD=DM，连接，，

∵，AD=DM，

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵∠BAC+，

∴，

∵

∴（SAS）

∴BC=AM

∴；

（3）存在，

理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于点M，作BE⊥AD于点E，作线段BC的垂直平分线交BE于点P，交BC于点F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN，连接DF交PC于点O．

∵∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，

∵，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM=2，DM=4，∠M=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，

∴EM=，

∴DE=EM-DM=3，

∵AD=6，

∴AE=DE，

∵BE⊥AD，

∴PA=PD，PB=PC，

在Rt△CDF中，∵CD=，CF=6，

∴，

∴∠CDF=60°=∠CPF，

∴△FCP≌△CFD，

∴CD=PF，

又∵CD∥PF

∴四边形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC-∠CDP=60°，

∴△ADP是等边三角形，

∴∠ADP=60°，

∵∠BPF=∠CPF=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PCD是△PAB的“旋补三角形”，

在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=，

PN=．