Question

已知如图，AB是⊙O直径，∠C的两边分别与⊙O相切于A、D两点．DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分面积（　　）

• A、4

  3

  -4π
• B、

  9

  2

  3

  -

  4

  3

  π
• C、

  9

  2

  3

  -4π
• D、4

  3

  -

  4

  3

  π

Answer 1

分析：连OD，过D作DF⊥AC于F，由AE=3，BE=1，得到半径OA=OD=2，则OE=3-2=1；在Rt△ODE中，得到∠ODE=30°，则∠DOE=60°，DE=

3

OE=

3

，所以∠DOA=120°．再根据切线的性质得到∠CAE=∠CDO=90°，则∠C=180°-∠DOA=60°，在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，可求出CF，最后根据扇形的面积公式，利用S_阴影部分=S_梯形AEDC-S_△ODE-S_扇形ODA进行计算即可．

解答：解：连OD，过D作DF⊥AC于F，如图，
∵AE=3，BE=1，
∴AB=4，
∴OA=OD=2，OE=3-2=1，
在Rt△ODE中，OD=2OE，
∴∠ODE=30°，
∴∠DOE=60°，DE=

3

OE=

3

，
∴∠DOA=120°，
又∵CD，CA为⊙O的切线，
∴∠CAE=∠CDO=90°，
∴∠C=180°-∠DOA=60°，
而DF=EA=3，
在Rt△CDF中，∠CDF=90°-60°=30°，
∴CF=

DF

3

=

3

，
∴S_阴影部分=S_梯形AEDC-S_△ODE-S_扇形ODA=

1

2

（

3

+2

3

）•3-

1

2

•

3

•1-

120•π•22

360

=4

3

-

4

3

π．
故选D．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

n•π•R2

360

；也考查了含30度的直角三角形三边的关系、切线的性质以及梯形的面积公式．